S5 → S6 exotic map | tktb-tess.github.io

5次の対称群 $\mathfrak{S}_5$ から6次の対称群 $\mathfrak{S}_6$ へのイレギュラーな写像の構築方法。

Sylow 5-部分群の利用

$\mathfrak{S}_5$ のSylow 5-部分群 (位数5) は長さ5の巡回置換によって生成される。巡回置換は $5!/5 = 24$ 個あり、またSylow 5-部分群には4つの巡回置換が含まれるので、巡回置換は $24/4 = 6$ 個のグループに分けられる。Sylow 5-部分群も6個ある。

\begin{alignedat}{2} H_1 &= \left\{e,(12345),(13524),(14253),(15432)\right\} & \\ H_2 &= \left\{e,(12354),(13425),(15243),(14532)\right\} & \\ H_3 &= \left\{e,(12435),(14523),(13254),(15342)\right\} & \\ H_4 &= \left\{e,(12453),(14325),(15234),(13542)\right\} & \\ H_5 &= \left\{e,(12534),(15423),(13245),(14352)\right\} & \\ H_6 &= \left\{e,(12543),(15324),(14235),(13452)\right\} & \end{alignedat}

$i,j$ を1以上6以下の整数で、 $\sigma\in \mathfrak{S}_5,\ \tau\in H_i$ に対し $\sigma\tau\sigma^{-1}\in H_j$ を満たすペアとすると、 $\sigma\tau^n\sigma^{-1}=(\sigma\tau\sigma^{-1})^n\in H_j$ である。つまり部分群全体がほかの部分群と置換する。写像 $\psi$ を

H_{\psi_\sigma(i)}=\sigma H_i\sigma^{-1}

と定義すれば、これがエキゾチックな $\mathfrak{S}_5\to \mathfrak{S}_6$ の写像になっている。

偶然同型の利用

同型写像 $\mathfrak{S}_5 \to \text{PGL}(2, \mathbb{F}_5)$ は

\begin{aligned} (1~2~3~4~5) &\mapsto \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \\ (1~2) &\mapsto \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}

と対応付けることにより構成でき、同様に $A_5 \to \text{PSL}(2, \mathbb{F}_5)$ も

\begin{aligned} (1~2~3~4~5) &\mapsto \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \\ (1~5~3) &\mapsto \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}

と対応付けられる。

5元体上の1次元射影直線 $\mathbf{P}^1\mathbb{F}_5$ は

\mathbf{P}^1\mathbb{F}_5\ni[x:y] \mapsto \left\{ \begin{aligned} & xy^{-1} & &(y\neq0) \\ & \infty & &(y=0) \end{aligned} \right.

のように対応させることで、 $\mathbb{F}_5 \cup \{\infty\}$ と同一視できる。

$\mathbb{F}_5 \cup \{\infty\}$ には6つの点があり、6点への作用を置換とみることで自然に6次対称群への埋め込み $\mathfrak{S}_5 \simeq \text{PGL}(2, \mathbb{F}_5) \hookrightarrow \mathfrak{S}_6$ が構成できる。これが $\mathfrak{S}_5 \to \mathfrak{S}_6$ となる。

目次

Sylow 5-部分群の利用

偶然同型の利用