S₅ → S₆ exotic map

5次の対称群 $\mathfrak{S}_5$ から6次の対称群 $\mathfrak{S}_6$ への例外的な推移的写像の構築方法。

目次

• Sylow 5-部分群の利用
• 偶然同型の利用

Sylow 5-部分群の利用

$\mathfrak{S}_5$ のSylow 5-部分群 (位数5) は長さ5の巡回置換によって生成される。巡回置換は $5! / 5 = 24$ 個あり、またSylow 5-部分群には4つの巡回置換が含まれるので、巡回置換は $24 / 4 = 6$ 個のグループに分けられる。Sylow 5-部分群も6個ある。

$i,j$ を1以上6以下の整数で、 $\sigma\in \mathfrak{S}_5,\ \tau\in H_i$ に対し $\sigma\tau\sigma^{-1} \in H_j$ を満たすペアとすると、 $\sigma \tau^n \sigma^{-1} = (\sigma \tau \sigma^{-1})^n \in H_j$ である。つまり部分群全体がほかの部分群と置換する。写像 $\psi$ を

と定義すれば、これが例外的な $\mathfrak{S}_5 \to \mathfrak{S}_6$ の写像になっている。

偶然同型の利用

同型写像 $\mathfrak{S}_5 \to \text{PGL}(2, \mathbb{F}_5)$ は

と対応付けることにより構成でき、同様に $\mathfrak{A}_5 \to \text{PSL}(2, \mathbb{F}_5)$ も

と対応付けられる。

5元体上の1次元射影直線 $\mathbf{P}^1 \mathbb{F}_5$ は

のように対応させることで、 $\mathbb{F}_5 \cup \{\infty\}$ と同一視できる。

$\mathbb{F}_5 \cup \{\infty\}$ には6つの点があり、6点への作用を置換とみることで自然に6次対称群への埋め込み $\mathfrak{S}_5 \simeq \text{PGL}(2, \mathbb{F}_5) \hookrightarrow \mathfrak{S}_6$ が構成できる。これが $\mathfrak{S}_5 \to \mathfrak{S}_6$ となる。