Hopf fibration

Hopf fibration S3→S2S^3 \to S^2 の構築方法。

目次

Riemann球面を用いた方法

3次元球面

S3={(x0,y0,x1,y1)∈R4 ∣ x02+y02+x12+y12=1}S^3 = \left\lbrace(x_0, y_0, x_1, y_1) \in \mathbb{R}^4\ |\ x_0^2 + y_0^2 + x_1^2 + y_1^2 = 1\right\rbrace

を考える。 R4\mathbb{R}^4 を C2\mathbb{C}^2 と同一視すると、 z0=x0+iy0,z1=x1+iy1z_0 = x_0 + iy_0, z_1 = x_1 + iy_1 とおいて、

S3={(z0,z1)∈C2 ∣ ∣z0∣2+∣z1∣2=1}S^3=\left\lbrace(z_0, z_1)\in\mathbb{C}^2\ |\ |z_0|^2+|z_1|^2=1\right\rbrace

となる。 C2∖{(0,0)}\mathbb{C}^2 \setminus \{(0, 0)\} からRiemann球面 CP1≃C∪{∞}\mathbb{C}\mathrm{P}^1 \simeq \mathbb{C} \cup \lbrace\infty\rbrace への写像

(z0,z1)↦[z0:z1](z_0, z_1) \mapsto [z_0 : z_1] ≃{z0z1(z1≠0)∞(z1=0)\simeq\left\lbrace \begin{aligned} &\frac{z_0}{z_1} & &(z_1 \neq 0) \\ \\ &\infty & &(z_1 = 0) \end{aligned} \right.

で S3S^3 を移す。

さらに、複素数平面から2次元球面 S2S^2 上の座標表示に変換する。その写像は、

z↦{1∣z∣2+1(2Re⁡z, 2Im⁡z, ∣z∣2−1)(z≠∞)(0,0,1)(z=∞)z \mapsto\left\lbrace \begin{aligned} \frac{1}{|z|^2 + 1} &(2\operatorname{Re}{z},\ 2\operatorname{Im}{z},\ |z|^2 - 1) & &(z \neq \infty) \\ \\ &(0, 0, 1) & &(z = \infty) \end{aligned} \right.

zz に z0/z1z_0 / z_1 を代入すると、 ∣z0∣2+∣z1∣2=1|z_0|^2 + |z_1|^2 = 1 を用いて、

z1≠0z_1 \neq 0 のとき

z0z1↦1∣z0/z1∣2+1(2Re⁡z0z1,2Im⁡z0z1,∣z0z1∣2−1)=1∣z0∣2+∣z1∣2(2Re⁡(∣z1∣2⋅z0z1),2Im⁡(∣z1∣2⋅z0z1),∣z0∣2−∣z1∣2)=(2Re⁡(z1z1∗⋅z0z1),2Im⁡(z1z1∗⋅z0z1),∣z0∣2−∣z1∣2)=(2Re⁡z0z1∗, 2Im⁡z0z1∗, ∣z0∣2−∣z1∣2)\begin{alignedat}{1} \frac{z_0}{z_1} &\mapsto \frac{1}{|z_0 / z_1|^2 + 1} \left( 2\operatorname{Re}{\frac{z_0}{z_1}}, 2\operatorname{Im}{\frac{z_0}{z_1}}, \left| \frac{z_0}{z_1} \right|^2 - 1 \right) \\ \\ &= \frac{1}{|z_0|^2 + |z_1|^2} \left( 2\operatorname{Re}{\left( |z_1|^2 \cdot \frac{z_0}{z_1} \right)}, 2\operatorname{Im}{\left( |z_1|^2 \cdot \frac{z_0}{z_1} \right)}, |z_0|^2 - |z_1|^2 \right) \\ \\ &= \left( 2\operatorname{Re}{\left( z_1 z_1^{*} \cdot \frac{z_0}{z_1} \right)}, 2\operatorname{Im}{\left( z_1 z_1^{*} \cdot \frac{z_0}{z_1} \right)}, |z_0|^2 - |z_1|^2 \right) \\ \\ &= \left( 2\operatorname{Re}{z_0 z_1^{*}},\ 2\operatorname{Im}{z_0 z_1^{*}},\ |z_0|^2 - |z_1|^2 \right) \end{alignedat}

となる。 z1=0z_1 = 0 のときもこの式を満たす。

よって、Hopf fibration S3→S2S^3 \to S^2 の明示的な写像は

(z0,z1)↦(2Re z0z1∗, 2Imz0z1∗, ∣z0∣2−∣z1∣2)(z_0, z_1) \mapsto \left( 2\text{Re}\ z_0 z_1^{*},\ 2\text{Im} z_0 z_1^{*},\ |z_0|^2 - |z_1|^2 \right)

である。複素数を実数に直すと、

z0z1∗=(x0+iy0)(x1−iy1)=x0x1+y0y1+i(y0x1−x0y1)∣z0∣2−∣z1∣2=x02+y02−x12−y12\begin{alignedat}{1} z_0 z_1^* &= (x_0 + iy_0)(x_1 - iy_1) \\ &= x_0 x_1 + y_0 y_1 + i(y_0 x_1 - x_0y_1) \\ \\ |z_0|^2 - |z_1|^2 &= x_0^2 + y_0^2 - x_1^2 - y_1^2 \end{alignedat}

であるので、

(x0,y0,x1,y1)↦(2(x0x1+y0y1), 2(y0x1−x0y1), x02+y02−x12−y12)(x_0, y_0, x_1, y_1) \mapsto \left( 2(x_0 x_1 + y_0 y_1),\ 2(y_0 x_1 - x_0 y_1),\ x_0^2 + y_0^2 - x_1^2 - y_1^2 \right)

四元数を用いた方法

4次元空間上の各点 (x0,x1,x2,x3)(x_0, x_1, x_2, x_3) を四元数 x0+x1i+x2j+x3kx_0 + x_1 \mathbf{i} + x_2 \mathbf{j} + x_3 \mathbf{k} と同一視する。3次元球面は単位四元数全体の集合となり、また乗法に関して群となる。つまり

S3={q∈H ∣ ∣q∣2=1}S^3 = \left\{q \in \mathbb{H}\ |\ |q|^2=1\right\}

である。

また、3次元実空間上の点 (x0,x1,x2)(x_0, x_1, x_2) を純四元数 x0i+x1j+x2kx_0 \mathbf{i} + x_1 \mathbf{j} + x_2 \mathbf{k} と同一視する。

R3={ p∈H ∣ Re⁡p=0}\mathbb{R}^3 = \left\{\,p \in \mathbb{H}\ |\ \operatorname{Re}{p}=0\right\}

S3S^3 から3次回転群への写像 ρ\rho を以下のように定義する。

ρ:S3→SO(3)ρq(p)=qpq∗(p∈R3, q∈S3)\begin{gather*} \rho : S^3 \to \text{SO}(3) \\ \rho_q(p) = qpq^{*} \quad (p \in \mathbb{R}^3,\ q \in S^3) \end{gather*}

ただし q∗q^{*} は qq の四元共役。

この pp を i\mathbf{i} に固定すれば、像もまた S2S^2 上になる。この写像

h:S3→S2q↦ρq(i)=qiq∗\begin{gather*} h : S^3 \to S^2 \\ q \mapsto \rho_q(\mathbf{i}) = q \mathbf{i} q^{*} \end{gather*}

が Hopf fibration である。