Hopf fibration

Hopf fibration S3→S2S^3 \to S^2 の構築方法。

目次

Riemann球面を用いた方法

3次元球面

S3={(x0,y0,x1,y1)∈R4 ∣ x02+y02+x12+y12=1}S^3=\left\lbrace(x_0,y_0,x_1,y_1)\in\mathbb{R}^4 \ |\ x_0^2+y_0^2+x_1^2+y_1^2=1\right\rbrace

を考える。 R4\mathbb{R}^4 を C2\mathbb{C}^2 と同一視すると、 z0=x0+iy0,z1=x1+iy1z_0=x_0+iy_0,z_1=x_1+iy_1 とおいて、

S3={(z0,z1)∈C2 ∣ ∣z0∣2+∣z1∣2=1}S^3=\left\lbrace(z_0,z_1)\in\mathbb{C}^2 \ |\ |z_0|^2+|z_1|^2=1\right\rbrace

となる。 C2∖{(0,0)}\mathbb{C}^2 \setminus \{(0,0)\} からRiemann球面 CP1≃C∪{∞}\mathbb{C}\mathrm{P}^1 \simeq \mathbb{C} \cup \lbrace\infty\rbrace への写像

(z0,z1)↦[z0:z1](z_0, z_1) \mapsto [z_0 : z_1] ≃{z0z1(z1≠0)∞(z1=0)\simeq\left\lbrace \begin{aligned} &\frac{z_0}{z_1} & &(z_1 \neq 0) \\ \\ &\infty & &(z_1 = 0) \end{aligned} \right.

で S3S^3 を移す。

さらに、複素数平面から2次元球面 S2S^2 上の座標表示に変換する。その写像は、

z↦{1∣z∣2+1(2Re z,2Im z,∣z∣2−1)(z≠∞)(0,0,1)(z=∞)z \mapsto\left\lbrace \begin{aligned} \frac{1}{|z|^2+1}&(2\text{Re}\ z,2\text{Im}\ z, |z|^2-1) & &(z \neq \infty) \\ \\ &(0,0,1) & &(z = \infty) \end{aligned} \right.

zz に z0z1\dfrac{z_0}{z_1} を代入すると、 ∣z0∣2+∣z1∣2=1|z_0|^2+|z_1|^2=1 を用いて、

z1≠0z_1 \neq 0 のとき

z0z1↦1∣z0/z1∣2+1(2Rez0z1,2Imz0z1,∣z0z1∣2−1)=1∣z0∣2+∣z1∣2(2Re(∣z1∣2⋅z0z1),2Im(∣z1∣2⋅z0z1),∣z0∣2−∣z1∣2)=(2Re(z1z1∗⋅z0z1),2Im(z1z1∗⋅z0z1),∣z0∣2−∣z1∣2)=(2Re z0z1∗,2Im z0z1∗,∣z0∣2−∣z1∣2)\begin{alignedat}{1} \frac{z_0}{z_1} &\mapsto \frac{1}{|z_0/z_1|^2+1}\left(2\text{Re}{\frac{z_0}{z_1}},2\text{Im}{\frac{z_0}{z_1}},\left|\frac{z_0}{z_1}\right|^2-1\right) \\ \\ &= \frac{1}{|z_0|^2+|z_1|^2}\left(2\text{Re}{\left(|z_1|^2 \cdot \frac{z_0}{z_1}\right)},2\text{Im}{\left(|z_1|^2 \cdot \frac{z_0}{z_1}\right)},|z_0|^2-|z_1|^2\right) \\ \\ &= \left(2\text{Re}{\left(z_1z_1^* \cdot \frac{z_0}{z_1}\right)},2\text{Im}{\left(z_1z_1^* \cdot \frac{z_0}{z_1}\right)},|z_0|^2-|z_1|^2\right) \\ \\ &= \left(2\text{Re}\ z_0z_1^*, 2\text{Im}\ z_0z_1^*,|z_0|^2-|z_1|^2\right) \end{alignedat}

となる。 z1=0z_1=0 のときもこの式を満たす。

よって、Hopf fibration S3→S2S^3 \to S^2 の明示的な写像は

(z0,z1)↦(2Re z0z1∗, 2Im z0z1∗, ∣z0∣2−∣z1∣2)(z_0,z_1) \mapsto \left(2\text{Re}\ z_0z_1^*,\ 2\text{Im}\ z_0z_1^*,\ |z_0|^2-|z_1|^2\right)

である。複素数を実数に直すと、

z0z1∗=(x0+iy0)(x1−iy1)=x0x1+y0y1+i(y0x1−x0y1)∣z0∣2−∣z1∣2=x02+y02−x12−y12\begin{alignedat}{1} z_0z_1^* &= (x_0+iy_0)(x_1-iy_1) \\ &= x_0x_1+y_0y_1+i(y_0x_1-x_0y_1) \\ \\ |z_0|^2-|z_1|^2 &= x_0^2+y_0^2-x_1^2-y_1^2 \end{alignedat}

であるので、

(x0,y0,x1,y1)↦(2(x0x1+y0y1), 2(y0x1−x0y1), x02+y02−x12−y12)(x_0,y_0,x_1,y_1) \mapsto \left(2(x_0x_1+y_0y_1),\ 2(y_0x_1-x_0y_1),\ x_0^2+y_0^2-x_1^2-y_1^2\right)

四元数を用いた方法

4次元空間上の各点 (x0,x1,x2,x3)(x_0,x_1,x_2,x_3) を四元数 x0+x1i+x2j+x3kx_0+x_1\mathbf{i}+x_2\mathbf{j}+x_3\mathbf{k} と同一視する。3次元球面は単位四元数全体の集合となり、また乗法に関して群となる。つまり

S3={q∈H ∣ ∣q∣2=1}S^3 = \left\{q \in \mathbb{H}\,|\,|q|^2=1\right\}

である。

また、3次元実空間上の点 (x0,x1,x2)(x_0,x_1,x_2) を純四元数 x0i+x1j+x2kx_0\mathbf{i}+x_1\mathbf{j}+x_2\mathbf{k} と同一視する。

R3={ p∈H ∣ Re⁡p=0}\mathbb{R}^3 = \left\{\,p \in \mathbb{H}\,|\,\operatorname{Re}{p}=0\right\}

S3S^3 から3次回転群への写像 ρ\rho を以下のように定義する。

ρ:S3→SO(3)ρq(p)=qpq∗(p∈R3, q∈S3)\begin{gather*} \rho : S^3 \to \text{SO}(3) \\ \rho_q(p) = qpq^{*} \quad (p \in \mathbb{R}^3,\,q \in S^3) \end{gather*}

ただし q∗q^{*} は qq の四元共役。

この pp を i\mathbf{i} に固定すれば、像もまた S2S^2 上になる。この写像

h:S3→S2q↦ρq(i)=qiq∗\begin{gather*} h : S^3 \to S^2 \\ q \mapsto \rho_q(\mathbf{i}) = q\mathbf{i}q^{*} \end{gather*}

が Hopf fibration である。